NANI MTK SMA

FUNGSI DAN TURUNAN

Sebuah pesawat membawa perang membawa awaknya untuk di kirim ke tempat yang dituju. Misalkan jarak s yang ditempuh setelah t detik adalah s = 10t2. Dari informasi ini dapatkah kita menghitung kecepatan pesawat saat t = 1 detik, 2 detik, 3 detik dst? Dengan mempelajari turunan fungsi aljabar, pertanyaan tersebut dapat kita jawab.
A. Turunan Fungsi Aljabar








Ringkasan Materi




1. Tentukan turunan pertama dari
Penyelesaian
Cara 1 Cara 2
2. Diketahui
Penyelesaian
Latihan 1


A. Pilihlah jawaban yang paling tepat
1. Diketahui fungsi , tentukan f 1(x).
2. Sebuah benda bergerak sepanjang lintasan dalam waktu t detik. Panjang lintasan s meter ditentukan dengan rumus s = t3 + 2t2 + t +1. Nilai adalah.....
3. Turunan pertama dari fungsi f yang ditentukan oleh (UAN 1996)
4. (UAN 1995)
5. Diketahui (UAN 1996)
6. Ditentukan Jika , maka nilai x haruslah........(SPMB 1995)


7. Diketahui f I(8) = 8. Diantara fungsi berikut yang mempunyai nilai turunan tersebut adalah.....
8. Jika
9. Jika
10. Jika

B. Kerjakan soal-soal berikut dengan tepat.
1. Diberikan rumus
Dengan menggunakan rumus di atas tentukan turunan fungsi-fungsi di bawah ini.
2. Tentukan hasil turunan dari fungsi-fungsi berikut:
3. Jika
4. Jika
5. Sebuah partikel bergerak sejauh s meter dalam waktu t detik dirumuskan dengan Tgentukan kecepatan partikel tersebut pada saat t = 3







B. Persamaan garis singgung pada kurva
Menentukan turunan dari suatu fungsi sama artinya dengan menentukan persamaan garis singgung dari suatu kurva. Masalah tentang garis singgung pada kurva ini sudah dibicarakan para ahli matematika sejak zaman ilmuwan besar Yunani, Archimedes (287 – 212 SM). Selanjutnya di abad ke-17 ilmuawan terkenal Newton mengembangkan teori yang kemudian kita kenal sekarang dengan kalkulus.

Ringkasan Materi


1. Gradien garis singgung pada kurva y = f (x) di titik P(a, f (a)) adalah
2.
f (a + h) f))
(a + h)
f (a)
a
P(a , f (a))
y = f (x)
g
Garis singgung
Q (a + h, f (a + h))
R
x
y
0
Garis Singgung Pada Kurva
y = f (x) di x = aPersamaan garis singgung di titik (a, b) pada kurva y = f (x) adalah























1. Tentukan persamaan garis singgung pada parabol
Penyelesaian
Persamaan garis singgung melalui (2, 12) dengan gradien = 22 adalah.
2. Tentukan persamaan garis singgung yang menyinggung parabol y = - x2 dan sejajar dengan garis
Penyelesaian
Garis
Karena sejajar dengan garis singgung parabol maka
Persamaan garis singgung yang melalui (2, -4) adalah:
Jadi persamaan garis singgungnya adalah y = - 4x + 4


Latihan 2



A. Pilihlah jawaban yang tepat.
1. Persamaan garis singgung di titik (1,-1) pada kurva adalah.............(SPMB 1995)
2. Persamaan garis singgung kurva di titik berabsis 1 adalah....
3. Persamaan garis singgung di titik (-3,4) pada lingkaran adalah......
4. Garis singgung pada kurva di titik yang berabsis 4 akan memotong sumbu X di titik .....
5. Jika garis lurus y = 2x + 1 menyinggung parabol , maka nilai m sama dengan .............
6. Persamaan garis singgung pada kurva di titik yang berabsis 1 adalah............(UAN 1997)

7. Garis yang menyinggung parabol adalah......
8. Koordinat titik pada kurva dimana garis singgungnya tegak lurus pada garis 2x – y = -2 adalah.....
9. Persamaan garis singgung pada parabol y2 = 16x yang tegak lurus garis x + y + 3 = 0 adalah...........
10. Gradien dari kurva pada absis 4 adalah............
B. Kerjakan soal-soal berikut dengan tepat
1. Tentukan gradien dari kurva di titik (3,-2).
2. Tentukan persamaan garis singgung kurva dengan syarat:
a. Tegak lurus dengan garis y = 4x + 2.
b. Sejajar dengan garis y = 4x + 2.
3. Tentukan persamaan garis singgung kurva jika garis tersebut sejajar dengan garis 6y = x + 4.


C.
Bagaimana menyelesaikan soal seperti yang tertera di papan? Sebenarnya tidak sulit, lho! Asal kita tahu caranya. Bagaimana? Kita pelajari dulu subbab ini. Ok......Rumus Turunan Fungsi
Ringkasan Materi





Terkadang sukar bagi kita untuk mencari turunan dari suatu fungsi aljabar. Berikut ini adalah beberapa rumus yang dapat memudahkan kita dalam memecahkan masalah tersebut.
1. Tentukan turunan dari
Penyelesaian
2. Jika f’ (x) adalah tutunan pertama dari , tentukan f I (x). Kemudian tentukan f I (0).
Penyelesaian
diketahui a = 2, b = -1, c = 1 dan d = 2
Dengan rumus
Jadi
Latihan 3


A. Pilihlah jawaban yang tepat.
1. Turunan pertama dari fungsi adalah..........
2. Jika
a. 9 b. 8 c. 7 d.6 e. 5
3. Diketahui
4. Turunan pertama dari adalah......
5. Diketahui
6. Diketahui . Jika adalah turunan pertama dari f (x), nilai f I(-2) adalah..........(UAN 1996)
a. – 40 b. – 26 c. – 22 d. 22 e. 19 atau 14
7. Diketahui
8. Turunan pertama fungsi adalah . Nilai dari f I(1)=......(UAN 2001)
a. 18 b. 24 c. 54 d. 162 e. 216
9. Turunan pertama fungsi adalah..... (UAN 2001)
a. 0,000024 b. 0,00024 c. 0,0024 d. 0,0024 e. 0,24
10. Turunan fungsi adalah.......
B. Kerjakan soal-soal berikut dengan tepat
1. Tentukan turunan pertama dari fungsi
2. Tentukan turunan pertama fungsi
3. Dengan menggunakan rumus turunan hasil kali dua fungsi, tentukan turunan fungsi-fungsi berikut.
4. tentukan nilai x yang memenuhi.
5. tentukan turunan

D. Turunan Fungsi Trigonometri
Ringkasan Materi

Misalkan u adalah fungsi x yang dapat didefinisikan, maka:

1. Carilah jika f (x) = 5 cos x 2. Tentukan turunan pertama dari
Penyelesaian Penyelesaian
= -5 sin x
2. Diketahui adalah turunan pertama dari f (x). Tentukan
Penyelesaian

Latihan 4

A. Pilihlah jawaban yang tepat.
1. Jika
2.
3. Turunan pertama adalah....
4. Turunan pertama fungsi f (x) = 5 sin x cos x adalah............(UAN 1996)
5.
6. Apabila
7. Diketahui fungsi adalah turunan pertama dari f (x), maka =........(UAN 1998)
8. Jika
a. 2 b. 1 c. 0 d. -2 e. -1


9. Turunan pertama fungsi adalah.............(UAN 1997)
10. Diketahui y = tan 4x. =.....
11. Turunan pertama dari (UAN 1996)
12. Apabila . =...
13.
14. Jika
15.




E.
Ringkasan MateriGrafik Fungsi Aljabar


1. Pengertian fungsi naik dan fungsi turun
b. Jika dalam fungsi memenuhi didapat , fungsi dikatakan naik.
c. Jika dalam fungsi memenuhi didapat , fungsi dikatakan turun.
2. Suatu fungsi kontinu f (x) dalam suatu interval tertentu dikatakan:
a. Fungsi naik jika
b. Fungsi turun jika
3. Nilai stasioner
Syarat fungsi f (x) mencapai stasioner adalah = 0
Jika , f (a)merupakan nilai stasioner f pada x = a
4. Nilai maksimum dan nilai minimum
a. Nilai maksimum atau minimum fungsi f dalam suatu interval tertutup belum tentu sama dengan nilai balik maksimum atau minimum.
b. Nilai maksimum atau minimum fungsi f dalam interval tertutup dapat diperoleh dari dua kemungkinan, yaitu nilai stasioner fungsi f dan nilai fungsi pada ujung-ujung interval tertutup itu.
5. Menggambar grafik fungsi aljabar
Langkah-langkah
a. Tentukan titik potong grafik dengan sumbukoordinat
b. Tentukan titik stasioner dan jenisnya; titik balik maksimum, titik balik minimum, atau titi balik stasioner.
c. Tentukan nilai x – dan x +

1.



+ + + + + - - - - - - - + + + + +
-3 1
f (x) naik pada interval x < -3 atau x > 1
f (x) naik pada interval -3 < x < 1Tentukan interval x agar f (x) naik dan interval x agar f (x) turun, jika diketahui
Penyelesaian
2. Tentukan nilai maksimum dan minimum
Penyelesaian
Syarat stasioner:
3. Sebutir peluru ditembakkan ke atas. Tinggi yang dicapai peluru dalam waktu t detik adalah h meter dan dirumuskan dengan h(t) = 160 t – 4t2. Tentukanlah:
a. t agar h mencapai maksimum
b. tinggi h maksimum



+ + + 0 - - - -
20Penyelesaian
Syarat maksimum
Tinggi maksimum adalah
h (20) = 160 (20) – 4 (20)2
= 1.600 meter

Latihan 5

1. Tentukan nilai dan jenis stasioner dari:
a. c. f (x) =
b. d.
2. Tentukan ukuran persegi panjang yang mempunyai luas terbesar jika diketahui keliling persegi panjang tersebut 40 cm!
3. Dari karton seluas 300 cm2 harus dibuat suatu kotak tanpa tutup, dengan alas berupa persegi. Tentukanlah ukuran kotak tersebut agar diperoleh volume yang terbesar, tebal karton diabaikan. Tentukan pula volume terbesarnya.







F.
Pernahkah terpikir oleh Anda, bahwa biaya produksi minimum dari sebuah pabrik mobil dapat dihitung denggan menggunakan pengetahuan tentang turunan kedua suatu fungsi?Turunan Kedua Suatu Fungsi






Ringkasan Materi


Jika diturunkan lagi terhadap x, maka akan diperoleh turunan kedua fungsi f (x) terhadap x yang ditulis dengan
Latihan 6


1. Tentukan dari fungsi-fungsi berikut:
2. Tentukan nilai stasioner, maksimum lokal, dan minimu lokal dari fungsi
3. Sebuah enda bergerak dengan lintasan yang dirumuskan oleh jika percepatannya 10 m/det2, tentukan nilai t.
4. Suatu lintasan s meter pada waktu t detik dari suatu benda yang bergerak sepanjang garis lurus dengan rumus
a. Hitunglah panjang lintasan pada t = 1 dan t = 3
b. Tentukan kecepatan rata-rata untuk t = 1 dan t = 3
c. Tentukan t jika kecepatannya 0
d. Hitunglah kecepatannya, jika percepatannya 0